ВведениеВертикальный перенос импульса обычно связывался с мелкомасштабной турбулентностью, которая генерируется под действием ветра и течений, а также вследствие обрушений поверхностных и внутренних волн  [1–8]. Помимо обрушений внутренних волн следует указать на «мягкий» режим поддержания турбулентности, уже сгенерированной сдвигом скорости течения [9] во внутренней волне. Аналогично в сдвиговых течениях поток с числами Ричардсона, близкими к критическим, может не разрушаться и поддерживать турбулентность [10]. В придонном слое мелкомасштабная турбулентность может генерироваться в придонном пограничном слое в результате воздействия неоднородностей рельефа дна на течения и приливы [11]. Следует отметить захват трехмерной внутренней волны наклонным дном, когда угол наклона дна таков, что вектор групповой скорости отраженной волны параллелен дну. В этом случае энергия захваченной внутренней волны переходит в турбулентность [12]. В сдвиговых течениях на критических слоях, где скорость течения равна фазовой скорости внутренней волны, могут возникать вихревые структуры типа «кошачьих глаз» [13, 14]. Внутренние волны малых амплитуд затухают под воздействием мелкомасштабной турбулентности, волны больших амплитуд затухают незначительно, но способны усиливать турбулентность [15, 16]. При распространении внутренних волн в горизонтально-неоднородном океане в область малых глубин происходит увеличение их амплитуды с последующим проявлением нелинейных эффектов и диссипации энергии волны в турбулентность. Аналогичный механизм наблюдается в горизонтально-неоднородном волноводе: распространение внутренней волны приводит к ее захвату и фокусировке с последующей диссипацией энергии в турбулентность [17]. Внутренние волны нередко распространяются в виде волновых пакетов [18, 19]. При распространении пакетов слабонелинейных внутренних волн генерируются средние течения, являющиеся эффектом второго порядка малости по амплитуде волны [20, 21]. На переднем и заднем фронтах волнового пакета вертикальная компонента скорости этого индуцированного течения имеет противоположные знаки, поэтому переноса по вертикали не происходит. Внутренние волны даже без обрушений могут вносить вклад в вертикальный обмен. В диссипативной среде с учетом вязкости и диффузии внутренние волны затухают [22–24]. Фазовый сдвиг между колебаниями вертикальной и горизонтальной скоростей при учете турбулентной вязкости и диффузии отличен от  и приводит к значениям вертикального волнового потока импульса, отличным от нуля [25–31]. Это обусловлено тем, что уравнение для собственной функции внутренних волн содержит комплексные коэффициенты, а решение соответствующей краевой задачи – комплексное [32, 33], при этом частота волны имеет малую мнимую часть [34–39]. До недавнего времени считалось, что коэффициенты горизонтального турбулентного обмена постоянны и не зависят от масштаба явления [27–31]. В работе [26] учитывалась зависимость коэффициента горизонтального турбулентного обмена от масштаба явления по закону «4/3» , :                                                   при постоянной частоте плавучести. В настоящей работе рассматриваются реальные профили стратификации и течения по данным натурного эксперимента на выходе из Гибралтарского пролива в сторону Средиземного моря, учитывается зависимость коэффициента горизонтального обмена от масштаба явления по закону «4/3», однако коэффициент  пропорциональности в этом законе связывается с частотой Брента – Вяйсяля. Основанием для этого служат данные дрифтерного эксперимента, приведенные в работах [40, 41]. Согласно этим данным, коэффициент горизонтального обмена пропорционален произведению масштаба скорости и масштаба длины L. Масштаб длины пропорционален бароклинному радиусу деформации Россби, который пропорционален средней по глубине частоте плавучести Целью настоящей работы является определение вертикального волнового потока импульса у внутренних волн при зависимости коэффициентов горизонтального обмена от масштаба явления по закону «4/3» и частоты плавучести. Постановка задачиВ приближении Буссинеска рассматриваются свободные прогрессивные внутренние волны в безграничном море постоянной глубины при наличии сдвигового течения [25–31]. Если ранее коэффициенты горизонтального турбулентного обмена предполагались постоянными [25–31], то в настоящей работе они зависят от вертикальной координаты и горизонтального масштаба явления. В линейном приближении находятся амплитудные и дисперсионные характеристики внутренних волн, во втором порядке по амплитуде волны определяются вертикальный волновой поток импульса и компоненты скорости стоксова дрейфа [25–27]. Система уравнений гидродинамики для волновых возмущений имеет следующий вид [25–31]: где  – вектор волновых возмущений скорости течения; ось  декартовой трехмерной системы координат направлена вдоль среднего плоскопараллельного течения, ось  направлена противоположно вектору ускорения свободного падения ;   – вектор скорости среднего течения; ,  – волновые возмущения плотности и давления [25–39];  – невозмущенная средняя плотность;  – коэффициенты горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии; действие оператора  раскрывается как  [25–39]. Граничные условия на поверхности и на дне: условия «твердой крышки» [22, 25–39] и условие «гладкого скольжения» [23, 25–31]. Линейное приближение. Решения линейного приближения для прогрессивной волны имеют следующий вид [25–39]:                          Подстановка формулы (5) в систему (2)–(4) приводит к системе уравнений, связывающей амплитудные функции  с  [25–31]:             . Амплитудная функция вертикальной скорости  удовлетворяет уравнению                                      ,  ,  Нелинейные эффекты. Две компоненты скорости стоксова дрейфа определяются по формулам [42, 25–31])где , . Учет турбулентной вязкости и диффузии приводит к тому, что частота волны имеет малую мнимую часть и вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа (9) не равна нулю [25–31]. Влияние турбулентной вязкости и диффузии на горизонтальную компоненту скорости стоксова дрейфа (8) рассматривается ниже.Вертикальный волновой поток импульса  определяется по формуле 2 [25–27, 29, 31–35, 38] .                         Решение краевой задачи (6), (7) – комплексное, поэтому поток импульса  (10) отличен от нуля.  Результаты расчетов и их анализДля расчета вертикального волнового потока импульса используем данные натурного эксперимента в Гибралтарском проливе [43]. На полигоне эксперимента как дистанционными методами, так и с помощью контактных измерений регистрировали интенсивные внутренние волны с амплитудой до 16 м. Была выявлена первая мода с периодом 14 мин, причем оценка фазовой скорости по данным измерений и теоретические расчеты с помощью численного решения уравнения Тейлора – Гольдштейна для профилей скорости течения и частоты плавучести (рис. 1) продемонстрировали хорошее согласие [43]. Ранее нами предполагалось, что на рассматриваемых масштабах . В настоящей работе учитывается зависимость коэффициента горизонтального турбулентного обмена от масштаба явления и частоты Брента – Вяйсяля. Отметим, что стратификация препятствует вертикальному обмену и подавляет мелкомасштабную турбулентность, однако не препятствует горизонтальному обмену, а, напротив, даже усиливает его [44]. На это указывают данные натурного эксперимента по определению коэффициентов горизонтального турбулентного обмена [45]. Полученные вертикальные распределения этого коэффициента указывают на его увеличение в области пикноклина при отсутствии циклонов. Поэтому применим модифицированную формулу Райли [44],                                               где  – коэффициент горизонтального турбулентного обмена в однородной жидкости, зависящий от масштаба явления l по закону «4/3»:,                                                  здесь коэффициент  по данным измерений в большом бассейне равен  (согласно работе 3). Из формул (11), (12) находим коэффициент горизонтального турбулентного обмена при наличии стратификации: .                                      Р и с.  1. Зависимость частоты плавучести (а) и скорости течения (b) от вертикальной координатыF i g.  1. Dependence of buoyancy frequency (a) and current velocity (b) on the vertical coordinate Здесь  – частота Брента – Вяйсяля, цикл/ч,  цикл/ч. Такое значение  обеспечивает попадание эмпирических значений коэффициента  (см. работу 3 и [46]) в законе «4/3» (1) в интервал изменения функции . Под масштабом явления в формулах (1), (13) будем понимать длину волны, т. е. . Краевая задача (6), (7) решается численно по неявной схеме Адамса второго порядка при  [26]. Для фиксированной действительной части частоты волны  волновое число и декремент затухания волны находятся методом пристрелки 2 [25–31, 34–39]. Сравниваются результаты расчетов с коэффициентом турбулентного обмена – фиксированным () и зависящим от масштаба явления по закону «4/3», как при постоянном значении  в формуле (1), так и в случае зависимости (формула (13)) коэффициента обмена от стратификации. На рис. 2 представлены дисперсионные кривые первой моды для этих трех случаев. Дисперсионные кривые почти совпадают, т. е. действительная часть частоты нечувствительна к зависимости (1) коэффициента обмена от масштаба l и зависимости (13) коэффициента обмена от частоты плавучести. Зато мнимая часть частоты волны заметно зависит от выбора коэффициента горизонтального турбулентного обмена (рис. 3).   Аналогичные расчеты для трех вариантов выбора коэффициента турбулентного обмена выполнены для вертикального волнового потока импульса  (10) у 14-минутных внутренних волн первой моды (рис. 4). В варианте 2, когда коэффициент турбулентного обмена зависит от масштаба явления по формуле (1), вертикальный волновой поток импульса заметно выше по абсолютной величине, чем в варианте 1, при , и меньше по модулю потока импульса в варианте 3. Аналогичным образом выполнены и расчеты для двух компонент скорости стоксова дрейфа для рассматриваемых трех вариантов выбора коэффициентов турбулентного обмена (рис. 5, 6). Как видим, выбор коэффициента обмена почти не влияет на горизонтальную компоненту скорости стоксова дрейфа (8). На рис. 6 представлены результаты расчета вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа (9). Эта компонента скорости в варианте 1 выбора коэффициентов обмена по модулю меньше, чем в варианте 2, а в последнем, в свою очередь, меньше, чем в варианте 3. ЗаключениеВертикальный волновой поток импульса у внутренних волн при учете горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии отличен от нуля. Это связано с тем, что уравнение для амплитуды вертикальной скорости содержит комплексные коэффициенты и решение краевой задачи (6), (7) – комплексное. Частота волны комплексная и имеет малую мнимую часть – декремент затухания волны, который находится в ходе решения этой краевой задачи. Между компонентами волновых возмущений скорости существует сдвиг фаз, отличный от , что приводит к отличному от нуля значению вертикального волнового потока импульса. При постоянном коэффициенте турбулентного обмена  вертикальный волновой поток импульса заметно меньше по модулю, чем при коэффициенте обмена, зависящем от масштаба явления по формуле (1). В свою очередь, в последнем случае поток импульса заметно меньше по абсолютной величине, чем при коэффициенте обмена, задаваемом формулой (13), учитывающей стратификацию. На дисперсионных кривых выбор коэффициента обмена почти не сказывается, однако декремент затухания волны чувствителен к этому выбору. Декремент затухания волны при  по модулю наименьший, Он увеличивается в случае, когда коэффициент обмена определяется по формуле (1), и становится наибольшим по абсолютной величине при расчете по формуле (13) при постоянном волновом числе. Горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа почти не зависит от выбора коэффициента турбулентного обмена, в то время как вертикальная компонента заметно выше по абсолютной величине, когда коэффициент турбулентного обмена зависит от масштаба явления по формуле (1), по сравнению с вариантом, когда постоянный коэффициент обмена. Зависимость (13), учитывающая влияние стратификации на коэффициент вертикального турбулентного обмена, дополнительно увеличивает вертикальную компоненту скорости стоксова дрейфа. Вертикальная компонента скорости стоксова дрейфа играет существенную роль в вертикальном переносе тепла и соли.