Saint Petersburg, Russian Federation
The article completes the consideration of the table of 27 species of symmetry (point groups, without cubic syngony). A hierarchy of 14 lines (families) of symmetry consistent with the hierarchy of 27 species of symmetry is given. The article is intended for teachers, postgraduate students, and students of natural sciences who are studying the basics of crystallography in a geometric context, without group theory or linear algebra. It is dedicated to the 85th anniversary of the publication of the textbook «Crystallography» by G. M. Popov and I. I. Shafranovsky.
species (point groups), classes and lines (families) of symmetry, hierarchies of species, classes and lines; limiting symmetry groups
Введение
На статью (Войтеховский, 2025б) автору поступили вопросы от читателей журнала: 1. Зачем, перечисляя виды симметрии (в. с.), перебирать все сочетания элементов симметрии {L1, L2, L3, L4, L6, Li4, C, P}, ведь изложенный в учебнике (Попов, Шафрановский, 1964, с. 84—88) алгоритм быстро ведет к цели? 2. Почему не принято во внимание авторитетное указание: «Прибегать к сложным представлениям об инверсионных осях следует только в том случае, если никакого другого более простого толкования нельзя найти» (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934, с. 153)? 3. Чем 14 линий семейств (по: Зоркий, 1986, с. 28—37) лучше привычных 7 классов симметрии? 4. Как иерархия линий согласуется с иерархиями классов и в. с.?
На первый вопрос ответим сразу. В поисках в. с. с единичными направлениями мы исходили из того, что ответ неизвестен, тогда как в учебнике алгоритм ведет прямо к известному финалу. При этом пропадает радость открытия. А это важный момент в преподавании. Кроме того, не надо идеализировать учебник. «Перпендикулярно исходному единичному направлению присоединяется плоскость симметрии П (рис. 66, в). Рассматривать этот случай нет надобности, так как для четных осей, согласно теореме 3, приходим к уже выведенным центральным в. с. ( L2П дает L2ПС, L4П — L4ПС, L6П — L6ПС). Для нечетных осей получаем комбинации, разобранные ниже (L1П = Р, L3П = Li6)» (Попов, Шафрановский, 1964, с. 86).
Ниже читаем: «Единичное направление совмещено с единственной инверсионной осью Lin. До сих пор не рассматривались отдельно в. с. с инверсионными осями. Здесь также можно выделить примитивную серию: Li1 = С, Li2 = Р, Li3 = L3С, Li4 ® L2, Li6 = L3П. Однако, просматривая данный ряд, находим лишь два в. с., не выведенных ранее: Li4 ® L2, Li6 = L3П» (там же, с. 87). Как же так? В. с. L3П получен выше и отложен искусственно. Поэтому Li6 и возникает наряду с Li4 якобы с необходимостью. Но у них в кристаллографии разный статус.
Инверсии
«Прибегать к сложным представлениям об инверсионных осях следует только в том случае, если никакого другого более простого толкования нельзя найти» (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934, с. 153). Фраза явно ориентирует на максимально простое изложение математической теории студентам с гуманитарным складом ума. Лишь в этом мы видим ее педагогическое оправдание. Но, быть может, у инверсионных осей есть и достоинства? Рассмотрим все инверсии.
Первая — отражение фигуры в плоскости P. Вроде здесь все просто — мы часто видим свое отражение в зеркале. Но в нем правая рука стала левой и наоборот, даже обручальное кольцо переползло*. В матричном описании эта инверсия меняет знак одной координаты точки: (x y z) (1 1 -1)** = (x y -z) — отражение в плоскости, ортогональной к Z.
*Это смущает одного нашего знакомого, ибо зеркало превращает его «из православного в католика».
**Здесь и далее для краткости вместо диагональной матрицы 3 × 3 мы показываем ее диагональ.
Вторая — отражение в прямой линии. Что за странное зеркало-линия? О нем в учебниках обычно не говорят, поскольку это поворот вокруг L2. Оно сохраняет правую руку — правой, левую — левой, меняя знаки двух координат точки: (x y z) (-1 -1 1) = (-x -y z) — поворот на 180° вокруг оси Z.
Третья — отражение в точке. Ее неудачно интерпретируют как отражение в очень маленьком зеркале. Она меняет правое на левое и наоборот, но еще переворачивает фигуру, меняя знаки трех координат точки: (x y z) (-1 -1 -1) = (-x -y -z). Центр инверсии лучше сравнивать с точечной камерой-обскурой.
Но самое интересное — инверсионные оси, которых классики советуют избегать, заменяя композициями. Незаменима лишь Li4, но и ее достаточно, чтобы говорить об их фундаментальности в кристаллографии. В чем сложность их восприятия? Рассмотрим инверсионно-примитивную серию: Li1 = С, Li2 = Р, Li3 = L3С, Li4 ® L2, Li6 = L3П. Для нечетных осей: Li1 — поворот вокруг L1 (на 360°, его как бы и нет) + инверсия в С, т. е. просто С; Li3 — поворот вокруг L3 + инверсия в С, т. е. в точности L3С.
Для четных осей: Li2 — поворот вокруг L2 + инверсия в точке (центре тяжести — ц. т. — истинного С нет), но в в. с. Р нет L2; Li4 — поворот вокруг L4 + инверсия в ц. т., но в в. с. Li4 нет L4 (есть L2, но она не содержит в себе L4); Li6 — поворот вокруг L6 + инверсия в ц. т., но в в. с. L3П нет L6 (L3 содержится в L6, а не наоборот). Мало того, что элементы симметрии кристалла (Р, Ln, Lin, С), в отличие от его телесных элементов (граней, ребер, вершин), не потрогать (их следует увидеть немалым интеллектуальным усилием), так еще для интерпретации четных инверсионных осей надо увидеть простые оси, не входящие в соответствующие в. с. и отсутствующие в фигуре. Эта трудность и объясняет рекомендацию классиков.
Но этот прием скрывает еще более глубокое содержание инверсионных осей. По сути, всякая инверсия должна мыслиться как единая, цельная, слитная, одноактная операция. Легко представить Li1 = С и Li2 = Р. Но попробуйте вообразить Li3, Li4 и Li6, не отрывая поворот от инверсии в С или ц. т. Картина фантастическая, головокружительная! Космологи утверждают, что так сворачиваются в спирали и просачиваются в черные дыры умирающие галактики, чтобы заново родиться по ту сторону. С той лишь разницей, что в кристаллографии эта процедура должна мыслиться мгновенно как потенция, возможность, характеризующая симметрию фигуры. Преподавание естественно-научной дисциплины в своих предметах должно являть студентам мироздание. Кристаллография — мировоззренческая наука***.
***«В одном мгновенье видеть вечность, / Огромный мир — в зерне песка, / В единой горсти — бесконечность / И небо — в чашечке цветка» (У. Блейк, перевод С. Маршака). С теплотой вспоминаю педанта кристаллографии д. ф.-м. н. Р. В. Галиулина, считавшего, что галактики расположены в узлах гранецентрированной кубической решетки, а если и не так, то только из-за погрешностей измерения...
27, 14, 7
По крайней мере с Р. Декарта научное исследование подразумевает синтез и анализ как взаимно дополнительные стратегии научного исследования. Хотя история науки показывает, что анализ дается проще, чем синтез. В обсуждаемой таблице 8 в. с. элементарные: L1, L2, L3, L4, Li4, L6, C, P. Прочие 19**** — первый шаг их синтеза в логически замкнутые системы. Объединение в. с. в 7 классов (от примитивного до инверсионно-планального) или в 14 линий (семейств) — второй шаг, выполненный с меньшей или большей детальностью. Во втором случае проявляется важная роль инверсионных осей. Использованные по максимуму, они порождают 6 линий (табл. 1).
Выясняются и другие интересные моменты. Т. к. в кристаллографии порядок оси — всегда натуральное число, а его четность или нечетность влияют на строение в. с., то полезно ввести обозначения: ∞н, ∞ч, ∞ — какое угодно большое нечетное, четное, любое натуральное число; -∞н, -∞4k-2, -∞4k, -∞ (k = 1, 2, 3…) — то же для инверсионных осей. И тогда вращающемуся цилиндру ∞/m (асимптота центральных в. с. по П. Кюри) строго соответствуют только гранные формы ∞ч/m, т. к. центральные в. с. с нечетными осями (-∞н, линия 9) не содержат плоскость, ортогональную к оси. Аналогично покоящемуся цилиндру ∞/mm (асимптота планаксиальных в. с. по П. Кюри) строго соответствуют только гранные формы ∞ч/mmm. Эти и другие нюансы рассмотрены в статьях (Войтеховский, 2025а; Voytekhovsky, 2025).
****Подчеркнем, что 5 кубических в. с. здесь не рассматриваются.
Иерархии классов и линий
Иерархия 7 кристаллографических классов (Попов, Шафрановский, 1964, с. 92) проста и следует из алгоритма вывода в. с. (рис. 1). Но и в ней уже проявлена обособленность инверсионных классов. Иерархия 14 линий, к тому же обобщенная на некристаллографические в. с., более разнообразна и богата вложениями, особенно в связи с положением инверсионных линий (рис. 2).
Соответствия линий и в. с.
Иерархия кристаллографических в. с. хорошо известна (Вайнштейн, 1979). Вложения линий (рис. 2) далее даны жирным шрифтом, вложения соответствующих в. с. (в обозначениях табл. 1) — после двоеточия: 1®2: 1®(2), 3®6; 1®4: 1®[1m], 3®3m; 1®6: 1®(12), 3®32; 1®9: 1®–1, 3®–3; 1®10: 1®[–2], 3®–6; 2®5: (2)®(2mm), 4®4mm, 6®6mm; 2®7: (2)®222, 4®422, 6®622; 2®11: (2)®–4; 3®8: {2/m}®2/mmm, 4/m®4/mmm, 6/m®6/mmm; 4®5: [1m]®(2mm), 3m®6mm; 4®12: [1m]®{–1m2}, 3m®–3m2; 4®13: [1m]®(–2m2), 3m®–6m2; 5®14: (2mm)®–4m2; 6®7: (12)®222; 32®622; 6®12: (12)®{–1m2}, 32®–3m2; 6®13: (12)®(–2m2); 32®–6m2; 7®14: 222®–4m2; 9®3: –1®{2/m}, –3®6/m; 9®12: –1®{–1m2}, –3®–3m2; 10®3: [–2]®{2/m}, –6®6/m; 10®13: [–2]®(–2m2), –6®–6m2; 11®3: –4®4/m; 11®14: –4®–4m2; 12®8: {–1m2}®2/mmm, –3m2®6/mmm; 13®8: (–2m2)®2/mmm, –6m2®6/mmm; 14®8: –4m2®4/mmm. Вложения в. с. внутри одной линии: 1: 1®3; 2: (2)®4, (2)®6; 3: {2/m}®4/m, {2/m}®6/m; 4: [1m]®3m; 5: (2mm)®4mm, (2mm)®6mm; 6: (12)®32; 7: 222®422, 222®622; 8: 2/mmm®4/mmm, 2/mmm®6/mmm; 9: –1®–3; 10: [–2]®–6; 12: {–1m2}®–3m2; 13: (–2m2)®–6m2.
Заключение
Рекомендация избегать инверсионных осей, если это возможно, имеет сугубо прагматическое значение. Их замена на композицию простых осей, плоскостей, истинного и ложного центров инверсии (С и ц. т.) вроде упрощает понимание, но взамен требует видеть в фигурах оси, которых нет в их в. с.: L2 в P = Li2, L4 в Li4, L6 в L3П = Li6. Инверсионные оси симметрии воспринять непросто, особенно в их мгновенной реализации. Зато их максимальное использование позволяет выделить 6 инверсионных линий (всего 14), с более богатой иерархией (структурой вложений), чем у 7 классов. Правильное преподавание предмета состоит в том, чтобы показать весь диапазон возникающих вопросов и, упрощая изложение, не потерять фундаментальный (космический, вселенский) аспект кристаллографии.
Автор благодарит рецензентов за внимательное прочтение статьи и весьма полезные замечания.
1. Boldyrev A. K., Dolivo-Dobrovol’sky V. V. Classification, nomenclature and symbolism of 32 symmetry species of crystallography. Proc. Leningrad Mining Inst. 1934;8:145—159. Russian.
2. Weinstein B. K. Modern crystallography. Vol. 1. Symmetry of crystals. Methods of structural crystallography. Moscow: Nauka;1979. 384 p. Russian.
3. Voytekhovsky Yu. L. From teaching experience. XVII. Borders and Curie’s limit groups. Vestnik of Geosciences. 2025a;4(364):51—56. Russian.
4. Voytekhovsky Yu. L. From teaching experience. XVIII. Table of 27 symmetry species. Vestnik of Geosciences, 2025b;9(369):36—43. Russian.
5. Zorkiy P. M. Symmetry of molecules and crystal structures. Moscow: Moscow State University; 1986. 232 p. Russian.
6. Popov G. M., Shafranovsky I. I. Crystallography. Moscow, Leningrad: Gosgeolizdat; 1941. 242 p. Russian.
7. Popov G. M., Shafranovsky I. I. Crystallography. Moscow: Vyshaya shkola; 1964. 370 p. Russian.
8. Voytekhovsky Yu. L. Band and Curie limit symmetry groups. Acta Cryst. Section A. Foundations and Advances. 2025;A81:350—352.
